Expresiones algebraicas
Término algebraico
Un término algebraico es el producto de un factor numérico llamado coeficiente por uno o más factores literales.
Por lo tanto, en cada término algebraico se distinguen el coeficiente numérico (que incluye el signo y la constante) y la parte literal (que incluye variables).
GRADO DE UN TÉRMINO
Es la suma de los exponentes del factor literal
Ejemplos:
1. El término 3x3 tiene grado 3 (porque el exponente de x es 3)
2. El término 4x2 y3 tiene grado 5 (2 + 3, la suma de los exponentes)
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Es toda combinación de números y letras ligados por los signos de las operaciones aritméticas. De acuerdo al número de términos puede ser:
De acuerdo con el número de términos que componen una expresión algebraica, estas se clasifican en: monomios (un término, consta de un solo término, sus componentes están relacionados únicamente por la operación producto y sus exponentes son números naturales.), binomios (dos términos), trinomios (tres términos). Las expresiones algebraicas de varios términos se denominan multinomios o polinomios.
Ejemplos:
GRADO DE UNA EXPRESIÓN
Es el grado mayor de sus distintos términos.
Ejemplos:
La expresión 3x3 + 5y5, tiene grado 5 (por ser el mayor grado y corresponde al segundo término)
La expresión 4x2 y3 – 4b3 y2 z7, tiene grado 12 (que es el grado mayor y corresponde al segundo término).
TERMINOS SEMEJANTE
Decimos que dos o más términos son semejantes cuando tienen el mismo factor literal. Los términos semejantes se pueden sumar o restar, sumando o restando sus coeficientes numéricos y conservando el factor literal.
Ejemplo:
Los términos: 3x2 y; 2x2 y , son semejantes. (tienen factor literal igual) y al sumarlos da como resultado: 5x2 y
SUMA DE MONOMIOS
Para sumar monomios éstos deben ser semejantes:
Ejemplos:
ELIMINACIÓN DE PARÉNTESIS
Para resolver operaciones con paréntesis, debemos seguir las siguientes reglas:
a) si el paréntesis está precedido por signo positivo, se consideran los términos por sus respectivos signos,
b) si el paréntesis está precedido por signo negativo, debes Sumar su opuesto, es decir, cambiar el signo de los términos que están dentro del paréntesis que vas a eliminar.
Ejemplos:
MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
La multiplicación de dos o más monomios se efectúa aplicando las leyes de:
a) la potenciación,
b) los signos,
c) las propiedades asociativa y conmutativa del producto.
Como resultado del producto de monomios se obtiene otro monomio.
El coeficiente numérico del monomio resultante es igual al producto de los coeficientes de los monomios que intervienen en el producto.
La parte literal es formada por las mismas letras que intervienen en los monomios del producto, con el exponente de la respectiva literal igual a la suma de los exponentes.
Ejemplos:
MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO
Se efectúa multiplicando el monomio por todos y cada uno de los términos del polinomio, después se suman cada uno de los productos obtenidos de multiplicar el monomio por cada uno de los términos del polinomio.
Ejemplo:
MULTIPLICACIÓN DE DOS POLINOMIOS
La multiplicación de dos polinomios se efectúa multiplicando todos y cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro y sumando todos los productos obtenidos, reduciendo términos semejantes, el resultado de la suma de estos productos generan un nuevo polinomio, de grado igual a la suma del grado de ambos polinomios. Generalmente se ordenan ambos polinomios en orden creciente o decreciente.
Ejemplo:
Multiplicar el polinomio $x^2+2x-1$ por el siguiente polinomio $x^2+2x+1$
DIVISIONES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
DIVISIÓN DE DOS MONOMIOS
La división de dos monomios se encuentra hallando el cociente de los coeficientes y el de las variables, el resultado es el producto de los cocientes de los coeficientes por el de las variables.
La división se realiza de la siguiente forma:
- Se realiza la división de los coeficientes A entre B, si es un entero se escribe directamente en el resultado si, por el contrario, no lo es, se acostumbra dejarlo como fracción.
- Si tienen las mismas variables ambos polinomios, se aplican las propiedades de los exponentes para expresar las variables con sus respectivas potencias en el resultado.
- Si no son iguales las variables del numerador con las del denominador, generalmente se dejan como aparecen, aunque también se pueden expresar las variables del numerador subiéndolas al numerador con potencias negativas.
Ejemplo:
para tener como resultado un monomio, es necesario dividir por un monomio que tenga las mismas variables y de menor o igual potencia.
Ejemplo:
División de un polinomio entre un monomio
La división de un polinomio entre un monomio se realiza sumando a sumando, en el caso de que existan las mismas variables.
Ejemplos:
División de un polinomio entre un polinomio
Para utilizar este método, vamos a recordar las partes que forman cualquier división, sea una división entre números o entre polinomios.
Toda división está formada por el dividendo, el divisor, el cociente y el resto:
Si lo escribimos en notación polinomial, tenemos:
Luego, se cumplen las siguientes propiedades:
1- El grado del dividendo D(x) es mayor o igual que el grado del divisor d(x).
2- El grado del dividendo D(x) es igual al grado del divisor d(x) más el grado del cociente C(x)
3- El grado del resto R(x) es menor que el grado del divisor d(x).
4- El dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.
Ejemplo:
Procedimiento: El primer paso consiste en escribir correctamente el dividendo y el divisor para proceder con la división.
En nuestro caso, el numerador es el dividendo y el denominador es el divisor.
Tanto en el dividendo, como en el divisor, los términos se escriben en orden decreciente según los grados de sus términos, es decir, empezando por el de mayor grado, hasta llegar al término de grado 0 (el término independiente).
Además, si falta el término de algún grado en el dividiendo, se deja un espacio en su lugar.
En nuestro ejemplo, el dividendo no tiene término de grado 4, por lo que dejamos un espacio en su lugar. Nos queda así:
Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, escribimos el resultado en el cociente, multiplicamos este término por todos los términos del dividendo y vamos colocando los resultados bajo cada término semejante en el dividendo, con signo opuesto al obtenido en el producto:
Como dejamos un espacio para el término de grado 4, el 8x4 lo colocamos debajo de ese espacio, ahora en el dividendo, sumamos verticalmente las dos expresiones que tenemos:
Al realizar la suma, el término de mayor grado se anula, tenemos una nueva expresión algebraica en el dividendo cuyo grado es mayor que el grado del divisor.
El proceso se repite hasta que la expresión que quede en el dividendo sea menor que el divisor. De manera que seguimos dividiendo esta nueva expresión entre el divisor, repitiendo los pasos anteriores.
Ahora, la expresión resultante en el dividendo tiene grado menor que el grado del divisor. Por lo tanto, hemos terminado de dividir.
La última expresión que nos queda en la parte del dividendo, con grado menor que el grado del divisor, corresponde al resto R(x) y la expresión que hemos ido calculando, debajo del divisor, corresponde al cociente C(x). Por tanto, el resultado de la división es el cociente C(x)
PRODUCTOS NOTABLES
Cuadrado de un binomio
Cuadrado de la suma de dos cantidades
Es igual al cuadrado del primer término, más el doble del producto de los dos términos, más el cuadrado del segundo término.
Se expresa de la siguiente manera: (a + b)2 = a2 + 2ab +b2
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
Es igual al cuadrado del primer término, menos el doble del producto de los dos términos, más el cuadrado del segundo término.
Se expresa de la siguiente manera: (a - b)2= a2 - 2ab + b2
Producto de binomios conjugados
Dos binomios son conjugados cuando los segundos términos de cada uno son de signos diferentes, es decir, el del primero es positivo y el del segundo negativo o viceversa. Se resuelve elevando cada término al cuadrado y se restan.
Su fórmula es la siguiente: (a + b) (a - b) = a2 – b2
Binomio al cubo
Binomio al cubo de una suma:
El cubo del primer término, más el triple del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple del primer término, por el segundo al cuadrado, más el cubo del segundo término.
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
Cubo de una diferencia
El cubo del primer término, menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple del primer término, por el segundo al cuadrado, menos el cubo del segundo término.
(a - b)3 = a3 - 3a2 b + 3ab2 - b3
Ejemplos
EJERCICIOS
I Resuelve las siguientes operaciones con expresiones algebraicas:
II Desarrolle los siguientes productos notables:
