La temperatura se puede medir a través de escalas de temperatura que te permiten cuantificar qué tan caliente o qué tan frío está el entorno, una sustancia o algún material cualquiera. La escala más frecuente en el mundo es la escala de grados Celsius. Otra escala conocida es la escala de grados Fahrenheit, que es utilizada en Estados Unidos y algunas islas del Caribe.

La escala Celsius se utiliza en la mayoría de los países del mundo. El creador de esta escala fue Anders Celsius, un científico y astrónomo sueco. A esta escala también se le denomina “escala centígrada” y es importante saber que en ella la temperatura se divide en 100 grados, siendo 0º C el punto de congelación del agua y 100º C el punto de ebullición del agua.

La escala Fahrenheit fue creada por Daniel Fahrenheit, un conocido físico e ingeniero alemán. En esta escala de temperatura, tiene como punto de congelación del agua los 32º F mientras que el punto de ebullición del agua está en los 212º F.

Tenemos así que existe una función que relaciona a ambas escalas y está dada por la expresión f(x)=9/5x+32, donde x es la temperatura en grados Celsius y f(x) la temperatura en grados Fahrenheit.

Como se ha dicho el agua hierve al nivel del mar a 212°F. Una forma matemática de obtener su equivalente en Celsius es utilizar la función dada anteriormente.

Por lo tanto, al nivel del mar el agua hierve a una temperatura de 100°C.

Generalizando la función definida anteriormente, podemos establecer una fórmula matemática que relacione ambas temperaturas.

La expresión obtenida en el proceso anterior, es lo que conocemos como la función inversa de f, y suele escribirse como:

Generalizando:

• La función inversa de f(x) se simboliza f ^-1(x).
• Para que se cumpla que f ^-1(x) corresponde a la función inversa de f(x), se debe dar por verdadero que:

• En toda función inversa se cumple que:

Formalmente definimos la función inversa de la siguiente manera.

Definición

Dada una función inyectiva f(x), se define su función inversa,  como:

Donde:

• El rango de f es el dominio de la función inversa
• El dominio de f es el recorrido de la función inversa
• y es un elemento cualquiera del dominio de la función inversa, y a su vez del rango de f
• x es un elemento cualquiera del rango de la función inversa, y a su vez del dominio de f 

Es factible identificar una función inversa de otra función f cualquiera a partir de las siguientes propiedades:

3.      La inversa de la composición de dos funciones f y g, cumple la siguiente propiedad:

Cálculo de la función inversa

Para calcular la función inversa de una función f(x), procedemos de la siguiente manera:

1.      Igualamos f(x) = y

2.      Intercambiamos x e y

3.      Despejamos y en función de x. Esta será la función inversa de la original.

Ejemplos:

1.      Dada la siguiente función, calcular su inversa.

2.      Dada la siguiente función, calcular su inversa.

Gráficas de una función y su inversa

Si se tiene la función f:A—>B, tal que f es una función biyectiva y f(a) = b, entonces el par ordenado (a, b) pertenece al gráfico de f y por definición de función inversa, f ^-1(b) = a, por lo que podemos deducir que el par ordenado (b, a) pertenece al gráfico de la función inversa de f.

En el plano cartesiano, la gráfica de una función f y la función inversa de f se caracterizan por ser simétricas respecto a la recta y = x. Es decir la gráfica de f y de f ^-1 se reflejan respecto de la recta y = x.

Ejemplos:

1.      Si f(x) = 3x + 2. Determinar su inversa y trazar sus gráficas.

2.      Si f(x) = x², t.q. f:[0, +∞[ à[0, +∞[. Determinar su inversa y trazar sus gráficas.