Teoría de números


En la sección de informática encontrará una aplicación en C# y otra para android sobre Teoría de números.

Los cursos básicos de matemática en la escuela primaria o secundaria nos han permitido ver que los llamados números naturales son una ínfima parte del total de números conocidos, sin embargo, deberíamos detenernos en algunos detalles que caracterizan a estos para procurar un mejor conocimiento y aprehensión sobre la teoría de números, vale con analizar y descubrir curiosidades y enigmas que continúan, al día de hoy, sin respuesta.

 

Hace un par de días al llegar a la caja de un supermercado, el cajero del mismo me indicó con relación al monto a pagar: “las dos primeras cifras son las mismas que aparecen en las dos últimas pero invertidas”.  Volví a ver la pantalla de la computadora y al comprobar lo dicho por el joven le dije: “Es un número capicúa: Un número que se lee de igual manera de izquierda a derecha o de derecha a izquierda”.  El muchacho me cobró, emitió la factura y al retirarme me dijo, “Gracias por haberme enseñado ese concepto”. Pensé y me dije a mi mismo, porque a los profesores de matemática nos cuesta tanto hacer más atractiva la enseñanza de la matemática.

 

Tenemos números naturales primos y compuestos, números infinitamente pequeños y números astronómicamente grandes, números capicúas, números racionales y otros que no lo son.

 

Números primos

 No está claro cuando los seres humanos reflexionaron por primera vez sobre los misterios de los números primos. El Hueso de Ishango sugiere que los humanos pensaban sobre los números primos ya hace mucho tiempo, aproximadamente hace veinte mil años, ya que incluye una cuaterna de primos (11, 13, 17, 19). Sin embargo, esto podría ser una coincidencia ya que también equivale a la suma de números impares que da como resultado 60, número importante en algunas civilizaciones antiguas. Así el sistema de numeración mesopotámica (también llamado numeración babilónica) es un sistema de representación de los números en la escritura cuneiforme de varios pueblos de Mesopotamia, entre ellos los sumerios, los acadios y los babilonios.

 

Se presume que apareció por primera vez alrededor de 1800-1900 a. C. También se acredita como el primer sistema de numeración posicional, es decir, en el cual el valor de un dígito particular depende tanto de su valor como de su posición en el número que se quiere representar. Aunque su sistema tenía claramente un sistema decimal interno se utilizaba 60 como la segunda unidad más pequeña en vez de 100 como lo hacemos hoy, más apropiadamente se considera un sistema mixto de las bases 10 y 60.

 

Sim embargo, volviendo a los números primos, los antiguos griegos de hace 2500 años, a menudo reciben el crédito de ser los primeros en estudiar los números primos por su propio bien. Los matemáticos de la escuela de Pitágoras, entre ellos mujeres (500 a. C – 300 a. C) se interesaron en los números por sus propiedades místicas y numerológicas. Entendieron la idea de primo y estaban interesados en los números perfectos y amigos.

 

A Eratóstenes se le ocurrió la Criba de Eratóstenes, un algoritmo para calcular números primos (200 a. C), la criba de Eratóstenes permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado n. Se forma una tabla con todos los números naturales comprendidos entre 2 y n, y se van tachando los números que no son primos de la siguiente manera: Comenzando por el 2, se tachan todos sus múltiplos; comenzando de nuevo, cuando se encuentra un número entero que no ha sido tachado, ese número es declarado primo, y se procede a tachar todos sus múltiplos, así sucesivamente. El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo o no lo es.

 

Así, por ejemplo, el proceso para determinar la lista de los números primos menores de 20.

 

Primer paso: listar los números naturales comprendidos entre 2 y 20.

 

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

 

Segundo paso: Se toma el primer número no rayado ni marcado, como número primo.

 

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

 

Tercer paso: Se tachan todos los múltiplos del número que se acaba de indicar como primo.

 

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

 

Cuarto paso: Si el cuadrado del primer número que no ha sido rayado ni marcado es inferior a 20, entonces se repite el segundo paso. Si no, el algoritmo termina, y todos los enteros no tachados son declarados primos.

 

            Como 3² = 9 < 20, se vuelve al segundo paso:

 

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

 

En el cuarto paso, el primer número que no ha sido tachado ni marcado es 5. Como su cuadrado es mayor que 20, el algoritmo termina y se consideran primos todos los números que no han sido tachados.

 

Como resultado se obtienen los números primos comprendidos entre 2 y 20, y estos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

 

 Euclides demostró muchos hechos importantes básicos acerca de números primos, que hoy damos por sentado, como que hay infinitos números primos. Euclides también demostró la relación entre los números primos de Mersenne y los números perfectos pares. Estos resultados en su obra los Elementos de Euclides que apareció en el 300 a. C. En el libro IX de los Elementos, Euclides demuestra que hay infinitos números primos, con una de las primeras demostraciones conocidas que utiliza el método de contradicción o reducción al absurdo. Euclides también da una prueba del Teorema Fundamental de la Aritmética: Todo entero puede escribirse como un producto de números primos de una manera esencialmente única.

 

Euclides también demostró que si el número 2n-1 es primo, entonces el número 2n-1(2n-1) es un número perfecto. El matemático Euler fue capaz de demostrar que todos los números perfectos pares son de esta forma. No se sabe a este día si existen números perfectos impares.

 

Números perfectos

 Antes de definir qué es un número perfecto, tomemos, por ejemplo, tomemos el número 15 y calculemos todos sus divisores (números naturales que cumplen que la división de 15 entre esos números es exacta). Son, a saber, los siguientes: 1, 3, 5 y 15. Excluyamos al propio 15 y sumemos los demás:

 

1 + 3 + 5 = 9

 

El resultado de la suma nos da 9.

 

Tomemos ahora el número 28 y calculemos sus divisores. Son: 1, 2, 4, 7, 14 y 28. Excluimos, como antes, al propio 28 y sumamos el resto de divisores:

 

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

 

¡La suma da como resultado el propio número 28! Bien, los ejemplos anteriores nos permiten definir que es un número perfecto

 

Un número perfecto es un número natural que cumple que es igual a la suma de sus divisores propios (todos sus divisores excepto el propio número).

 

Por tanto, el 15 no es un número perfecto, pero el 28 sí lo es.

 

¿Por qué “perfectos”? Pues parece ser que se llaman así por cuestiones más bien místicas: Dios creó el universo en 6 días, y el 6 es un número perfecto; la Luna tarda 28 días en dar una vuelta a la Tierra porque el 28 es perfecto.

 

El más pequeño de los números perfectos es el que acabamos de citar, el 6:

 

Divisores propios de 6: 1, 2, 3, y se tiene que 1 + 2 + 3 = 6

 

El siguiente es el 28, y a ellos le siguen el 496 y el 8128. Los que se enumeran a continuación son los ocho primeros números perfectos conocidos:

 

6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128

 

El estudio de estos números perfectos está ligado al estudio de los mismos números naturales, por lo que se podría decir que han estado en la mente de los matemáticos desde que el hombre se interesó por el estudio más profundo de los números y sus propiedades. Pero, según sabemos, fue Euclides quien mostró por primera vez estudios y resultados con interés acerca de estos curiosos números.

 

Como se mencionó en el apartado anterior, Euclides demuestra que: Si para algún número natural n > 0 se cumple que 2n-1 es primo, entonces el número 2n-1(2n-1) es un número perfecto.

 

Por ejemplo, para k = 2 tenemos que 22 – 1 = 3 es primo. Entonces, el número que resulta de la operación 22 – 1 · (22 – 1) = 2 · 3 = 6 es, como ya hemos visto, perfecto. Y para k = 3 tenemos que 23 – 1 = 7 es primo, obteniendo así el número 23 – 1 · (23 – 1) = 4 · 7=28, que ya hemos visto que también es un número perfecto. El resto de números perfectos de la lista de los ocho primeros que aparecen unos párrafos más arriba se obtiene con k = 5, 7, 13, 17, 19 y 31.

 

Números amigables

 Volvamos al tema de los divisores. Tomemos el número 220 y obtengamos sus divisores. Son los siguientes: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 y 220. Excluimos el 220 y sumamos los demás:

 

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

 

La suma no nos da 220, por lo que este número no es un número perfecto. Hagamos ahora lo mismo con el resultado obtenido, el 284. Sus divisores son los siguientes: 1, 2, 4, 71, 142 y 284. Sumamos todos excepto el 284 y obtenemos lo siguiente:

 

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

 

Estas parejas de números que cumplen que los divisores propios de uno de ellos suman el otro número se llaman números amigos o amigables. Se conocen muchas parejas de números amigos, algunas de ellas con números bastante grandes, y también han sido muchos los matemáticos que les han dedicado tiempo de estudio a lo largo de la historia. Son otro tipo de números bastante interesante sobre el que hablar e indagar, pero dejaré que seáis vosotros quienes, si estáis interesados, busquéis información sobre ellos.

 

Números automórficos

 Se dice que un número de n dígitos es automórfico si los últimos n dígitos de su cuadrado son los mismos que el número original.

 Por ejemplo, 252 = 625 y 762 = 5776.

 

Hay números automórficos más grandes, como 212 890 625 y 787 109 376:

 

212 890 6252 = 45 322 418 212 890 625

  y

787 109 3762 = 619 541 169 787 109 376.

 

Si el cuadrado de x tiene los mismos últimos n dígitos que x, también lo hace el cubo de x y todas las potencias superiores.

 

Resulta que por cada n > 1, hay dos números automórficos de longitud n. Incluso hay una fórmula para las dos soluciones.

 

El primer número de longitud n está definido por:

\[a=5^{(2n)}\: mod\: 10^{n}\]

y el segundo número es:

\[b=10^{n}-a+1\]

Así por ejemplo:

Si n = 2, entonces

\[a=5^{(2\cdot 2)}\: mod\: 10^{2}=25\]

y el segundo es:

\[b=10^{2}-25+1=76\]

La conjetura de Goldbach
Una conjetura en matemática es un resultado que se presupone cierto porque no se ha encontrado hasta el momento ningún contraejemplo que lo rechace, pero que tampoco ha podido ser demostrado rigurosamente.

Entre las más célebres en los últimos años tenemos la Conjetura de Poincaré, que tardó más de 100 años en poder demostrarse, o la del conocido como Último Teorema de Fermat, que fue probado casi 4 siglos después de ser enunciado.

Christian Goldbach fue un matemático prusiano del S.XVIII. Comenzó su carrera como profesor de matemáticas en San Petersburgo, y posteriormente se trasladó a Moscú para trabajar a las órdenes del Zar Pedro II.

Los resultados por los que es conocido son los siguientes:
Conjetura de Goldbach: Todo número par mayor que 2, puede ser escrito como la suma de dos números primos.

Conjetura Débil de Goldbach: Todo número impar mayor que 5, puede ser escrito como la suma de tres números primos.

Veamos unos ejemplos sencillos para aclarar los conceptos,
Caso fuerte:
8=3+5
10=5+5 ó 10=7+3  (la descomposición no tiene por qué ser única)
20=13+7
554=331+223

Caso débil:
9=3+3+3
15=7+5+3
31=17+7+7
133=37+83+13

Si nos fijamos bien, la demostración del caso débil sería trivial si el primer resultado estuviera probado. Bastaría con encontrar los dos números primos que sumados dieran el número par tres unidades anterior al número impar que queremos formar, y sumarle 3 que como todos sabemos, es otro número primo. Luego, tendríamos tres números primos, cuya suma nos daría el valor impar deseado.

Pero como ya hemos dicho, la versión fuerte no ha podido ser demostrada aun, y parece ser que puede quedar mucho tiempo para que el resultado sea probado, y esta prueba no nos vale todavía. Tampoco nos vale el camino inverso, porque no hay ninguna manera (al menos conocida) de que la versión débil implique que se cumple la fuerte.

Lo que sí que se ha probado computacionalmente (mediante la ayuda de ordenadores), es que el resultado es cierto para todo número par inferior al trillón. Pero como ya hemos comentado en este blog en muchas ocasiones, los números naturales (1,2,3,…) son infinitos, y por lo tanto, un trillón es una parte muy pequeña de todos los que existen. No podemos darlo por demostrado.

 

Números de Mersenne

Un número de Mersenne es un número M de la forma:

\[M=2^{n}-1,n\in \mathbb{N}\]

En 1644, el monje francés Marin Mersenne (1588-1648) afirmó que los números de la forma 2n - 1 eran primos para n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257, y que eran compuestos para los restantes enteros positivos n tal que n < 257. No obstante, ni él ni los matemáticos de la época pudieron probar dicha afirmación para todos esos números.

 

Recién alrededor de 1947 se terminó de chequear el rango de Mersenne, para n menor que 258, y se determinó que la lista correcta es: n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 y 127.  

 

De tal afirmación surge el concepto de número primo de Mersenne, definiéndosele como un número primo de la forma 2n - 1. 

 

Se considera que algunos autores antiguos pensaron que todos los números de la forma 2n - 1 eran primos para todos los n primos, pero en 1536 Hudalricus Regius demostró que 211 - 1 = 2047 que no es primo (es igual a 23x89).  Posteriormente se verificó que 2n - 1 era primo para n = 17, 19 y 31, y que no era primo para n = 23, 29 y 37.  

 

La aparición y avances en la era de las tecnologías de la información con máquinas capaces de realizar grandes cálculos y a gran velocidad, que anteriormente requerían mucho tiempo y tediosas labores ha permitido avanzar en el descubrimiento de mayores números primos de Mersenne, los que resultan inimaginables para la mayoría de seres humanos. 

 

El inicio del año 2018, marca un hito para las matemáticas en general y para los números primos en particular. El día 3 de enero de 2018, el grupo GIMPS anuncia el descubrimiento (y la confirmación) del primo de Mersenne número 50. Este primo de Mersenne consta de 23 249 425 dígitos (más de 23 millones de dígitos), y se convierte en el mayor número primo conocido hasta la fecha, superando al anterior, también un primo de Mersenne (el número 49) en casi un millón de dígitos. 
 
Este primo de Mersenne, el número 50 que se encuentra y que se designa como:

\[\LARGE M_{77232917}=2^{77232917}-1\]

Escribiendo 3 dígitos por segundo, y sin parar en ningún momento, se tardaría casi 90 días en escribir este número. 

 

Relaciones con los números de Mersenne 

Tal y como se ha mencionado algunos párrafos arriba, Euclides, muchos siglos antes que Mersenne, ya conocía estos números, estableciendo relación entre ellos y los números perfectos. Si M es un número primo de Mersenne, entonces M·(M+1)/2 es un número perfecto. De igual forma Leonard Euler demostró que todos los números perfectos pares son de la forma M·(M+1)/2. No se conocen en la actualidad números perfectos impares, y se sospecha que no existe ninguno.